x maths Polynomials

 

Exercise - 2.1 (Mathematics NCERT Class 10th)

Q.1     The graphs of y = p(x) are given in figures below for some polynomials p(x). Find the number of zeroes of p(x) , in each case.
            (i)   
          (ii)  
         (iii)
         (iv)
        (v) 
         (vi)   
Sol.
        (i) There are no zeroes as the graph does not intersect the x-axis.
        (ii) The number of zeroes is one as the graph intersects the x-axis at one point only.
        (iii) The number of zeroes is three as the graph intersects the x-axis at three points.
        (iv) The number of zeroes is two as the graph intersects the x-axis at two points.
        (v) The number of zeroes is four as the graph intersects the x-axis at four points.
        (vi) The number of zeroes is three as the graph intersects the x-axis at three points.

Polynomials : Exercise - 2.2 (Mathematics NCERT Class 10th)

Q.1       Find the zeroes of the following quadratic polynomials and verify the relationship between the zeroes and the coefficients :
             (i) x2−2x−8                      
             (ii) 4s2−4s+1
             (iii) 6x2−3−7x                                         
             (iv) 4u2+8u
             (v) t2−15                                                    
             (vi) 3x2−x−4
Sol.       (i) We have, x2−2x−8 =x2+2x−4x−8
                                                   =x(x+2)−4(x+2)
                                                   =(x+2)(x−4)
                  The value of x2−2x−8 is zero when the value of (x + 2) (x – 4) is zero, i.e.,
                  when x + 2 = 0 or x – 4 = 0 , i.e., when x = – 2 or x = 4.
                   So, The zeroes of x2−2x−8 are – 2 and 4.
                  Therefore , sum of the zeroes = (– 2) + 4 = 2
                                                             =−CoefficientofxCoefficientofx2
                  and product of zeroes = (– 2) (4) = – 8 =−81
                                                  =ConstanttermCoefficientofx2

            (ii) We have, 4s2−4s+1 =4s2−2s−2s+1
                                                    =2s(2s−1)−1(2s−1)
                                                    =(2s−1)(2s−1)
                 The value of 4s2−4s+1 is zero when the value of  
                 (2s – 1) (2s – 1) is zero, i.e., when 2s – 1 = 0 or 2s – 1 = 0,
                 i.e., when s=12ors=12.
                 So, The zeroes of 4s2−4s+1are12and12
                 Therefore, sum of the zeroes =12+12=1
                                                           =−CoefficientofsCoefficientofs2
                 and product of zeroes =(12)(12)=14
                                                 =ConstanttermCoefficientofs2
           (iii) We have, 6x2−3−7x = 6x2−7x−3
                                                   =6x2−9x+2x−3
                                                   =3x(2x−3)+1(2x−3)
                                                   =(3x+1)(2x−3)
                 The value of 6x2−3−7x is zero when the value of (3x + 1) (2x – 3) is zero, i.e., when 3x + 1 = 0 or 2x – 3 = 0, i.e, when x=−13orx=32
                So, The zeroes of 6x2−3−7xare−13and32
                Therefore, sum of the zeroes =−13+32=76
                                                           =−CoefficientofxCoefficientofx2
                 and product of zeroes =(−13)(32)=−12
                                                 =ConstanttermCoefficientofx2
           (iv)  We have, 4u2+8u = 4u (u + 2) 
                  The value of 4u2+8u is zero when the value of 4u(u + 2) is zero, i.e., when u = 0 or u + 2 = 0, i.e., when u = 0 or u = – 2.
                  So, The zeroes of 4u2+8u and 0 and – 2 
                  Therefore, sum of the zeroes = 0 + (– 2) = – 2 
                                                           =CoefficentofuCoefficientofu2
                  and , product of zeroes = (0) (–2) = 0 
                                                    =ConstanttermCoefficientofu2
            (v) We have t2−15 =(t−15−−√)(t+15−−√)
                 The value of t2−15 is zero when the value of (t−15−−√)(t+15−−√) is zero,
                 i.e., when t−15−−√=0ort+15−−√ = 0 i.e., when t=15−−√ort=−15−−√
                 So, The zeroes of t2−15are15−−√and−15−−√
                 Therefore , sum of the zeroes = 15−−√+(−15−−√)=0
                 =−CoefficientoftCoefficientoft2
                 and, product of the zeroes = (15−−√)(−15−−√)=−15
                                                    =ConstanttermCoefficientoft2  
           (vi) We have, 3x2−x−4 =  3x2+3x−4x−4
                                                  =3x(x+1)−4(x+1)
                                                  =(x+1)(3x−4)
                 The value of 3x2−x−4 is zero when the value of (x + 1) (3x – 4) is zero, i.e., when x + 1 = 0 or 3x – 4 = 0, i.e., when x = – 1 or  x=43.
                 So, The zeroes of 3x2−x−4are−1and43
                 Therefore , sum of the zeroes =−1+43=−3+43
                                                              =13=CoefficientofxCoefficientofx2
                 and, product of the zeroes =(−1)(43)=−43
                                                        =ConstanttermCoefficientofx2

---

Q.2       Find a quadratic polynomial each with the given numbers as the sum and product of its zeroes respectively.
            (i) 14,−1                 
            (ii) 2–√,13                      
            (iii) 0,5–√
            (iv) 1, 1
            (v) −14,14                                                  
            (vi) 4, 1
Sol.      (i) Let the polynomial be ax2+bx+c, and its zeroes be αandβ. Then , 
                                                    α+β=14=−ba
                  and,                            αβ=−1=−44=ca
                 If a = 4,  then  b = – 1 and c = – 4.
                 Therefore, one quadratic polynomial which fits the given conditions is 4x2−x−4.

          (ii) Let the polynomial be ax2+bx+c, and its zeroes be αandβ. Then,
                                                 α+β=2–√=32√3=−ba
                and                            αβ=13=ca
                If a = 3, then b =32–√andc=1
                So, One quadratic polynomial which fits the given conditions is 3x2−32–√x+1.

           (iii) Let the polynomial  be ax2+bx+c, and its zeroes be αandβ. Then, 

                                                  α+β=0=01=−ba
                 and                           αβ=5–√=5√1=ca
                 If  a = 1, then b = 0 and c = 5–√
                 So, one quadratic polynomial which fits the given conditions is x2−0.x+5–√,i.e.,x2+5–√.

          (iv) Let the polynomial be ax2+bx+c and its zeroes be αandβ. Then,
                                                 α+β=1
                                                 =−(−1)1=−ba
and                               αβ=1 =11=ca
                If  a = 1, then b = – 1 and c = 1.
                So, one quadratic polynomial which fits the given conditions is x2−x